怎样用高斯消去法解线性方程组

详细介绍方法/步骤

高斯消去法

我们可以对线性方程进行以下三种变换：

(1)设置非零常数

(2)将一个方程乘以另一个方程的若干倍；

(3)交换两个方程的位置。

我们把这三种线性方程组的变换称为线性方程组的初等变换。通过方程的初等变换得到的新的线性方程具有与原始线性方程相同的解。很容易知道，线性方程组的初等行变换等价于增广矩阵的相应初等行变换。

注：由于齐次线性方程组的常项总是零，所以我们在做初等变换时只需要对其系数矩阵做相应的初等行变换。

高斯消去法

我们对线性方程进行初等变换的目的是将它们变换成具有相同解的以下形式的线性方程：

在这个方程组中，每个方程至少比前面的方程少一个未知量，称为阶梯方程。阶梯型方程中，每行第一个未知量称为主成分，其余未知量称为自由变量。梯形方程的解很容易得到。

用高斯消元法求解线性方程组相当于用初等行变换把线性方程组的增广矩阵变换成阶梯矩阵。原始方程的解也可以通过将比较终的增广矩阵化为线性方程来获得。不难看出求解过程更简单。